孟子云：“鱼，我所欲也，熊掌亦我所欲也；二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。”如何在两种利益之间做出取舍，圣人孟子给出了答案。在仿真领域，随着仿真软件的功能不断增加，应用领域不断扩大，处理的对象越来越复杂，再加上硬件的更新速度往往慢于软件更新的速度，这使得仿真工程师们不得不在模型的计算速度和数值精度中反复做出选择。
近年来，降阶模型方法极大地推动了仿真技术应用于复杂产品设计与实时模拟中，因为降阶模型既保留了模型的基本特性与主导效应，又大大减少了复杂模型的CPU计算时间及存储空间，这使得模型的计算速度和数值精度不必二者取其一，从而引发了仿真技术的新变化。本文将阐述笔者对于降阶模型技术的认识和理解，并分享了4个应用案例供读者参考。
一、降阶模型，平衡精度和速度的利器
在研究工程问题时，对问题进行离散化是一种常见且有效的数值逼近方法，但经过离散化处理后的系统的阶数通常都非常大，给计算机的存储、数值运算、系统控制设计带来了很大的困难，降阶模型技术应运而生。其实，降阶模型并非全新概念，最早出现在自动控制和电路系统领域，是超大规模电路设计自动化软件的理论基础之一。在1966年，Edward J. Davison提出了控制系统的降阶模型，想法是降低原始系统系数矩阵的阶次，并保留原来系统的主导特征值与一些重要的状态变量。近几十年来，研究者们快速开发了多种降阶模型（Reduced Order Models，ROM）方法，实现以较低的计算成本和可接受的精度损失来获得近似解决方案。
如何理解降阶模型 顾名思义，降阶模型是在有合理的准确性的模型基础上构建一个简化的模型近似原来的模型。在系统仿真方面，降阶模型的核心思想是将大规模复杂系统模型在一定条件下转化为较小规模的近似系统模型，满足近似系统模型与原系统模型的误差足够小，并从物理角度上保持原系统模型的稳定性、无源性和结构特性等。用一句话来理解，降阶模型是用低阶模型逼近高阶模型。
在优化领域，一些研究人员认为模型降阶技术是一种利用现有模型的计算结果和/或试验数据构建出的已有数据集（包括输入和输出）进行插值的方法。它的起点是尽可能地覆盖设计空间的DOE设计。在某些情况下,可以将模型降阶视为代数解法,将时变现象分解为特殊的和时间的成分,以减少数据集的容量,同时保留数据中包含的最重要部分的信息。在需要的时候,可以恢复全部数据,或数据中最重要的部分。此外,还可以将模型降阶视为聚类或其他"有损"高效数据压缩技术,从而减少了重建完整数据集所需的数据量。两种技术都可以基于大量的试验或仿真结果创建机载计算和实时仿真应用程序。
在数字孪生方面，降阶模型的研究可以推动数字孪生模型的发展，是未来智能制造的发展方向。基于降解模型技术可以将三维的流体、结构、电磁、热等物理场仿真模型降阶为可以实时仿真的数字孪生组件模型，实现对关键组件或价值昂贵组件的预测和维护，为复杂系统的决策支持提供高可靠性依据。
归纳来看，降阶模型技术对于仿真分析的价值主要有三点：一是将具有高保真度的仿真模型尽可能简化，进而满足系统级实时仿真和快速优化的应用需求；二是降低模型仿真时所需要的CPU计算时间以及硬盘存储空间；三是可作为控制器软件的一部分，起到模型预测、状态估算等作用的在线模型。
二、仿真+降阶模型融合，大势所趋
当前，为了支撑数字孪生的应用，主流仿真软件公司开发了降阶模型处理技术，以便快速得到接近三维仿真的近似解，从而支持与系统仿真软件一起，实现对物理对象的实时仿真。从市面上很多商业化的仿真软件来看，这些软件已经包含了降阶模型功能的接口或者模块，具备了对应的降阶模型功能。例如，Ansys提出了降阶模型技术为核心的一维仿真方法，通过应用LTI、SVD和DOE等方法将三维和二维有限元模型降阶为一维数字样机模型，降阶的过程中考虑非线性因素对结果造成的影响，并采用机器学习等方法进行结果的内插与外推，客户只需提供部分有限元结果也能保证整体计算精度。
Altair也很注重将降阶模型技术应用于仿真分析。早在2016年，Altair就收购了一个多尺度技术公司Multiscale Designer，该软件采用独特的系统化模型降阶技术，可将有限元数量成百上千的复杂单元胞体简化为数量可控的形变模式和状态变量，这使得多尺度建模能够切实应用于解决当今的复杂异质材料仿真问题。现如今，romAI降阶模型作为Altair的一个全新工具，融合了人工智能和系统建模技术，可从已有数据生成可重复使用的连续动态模型。
达索系统Isight软件具有专门的降阶模型（近似拟合）的功能模块，主要提供响应面模型RSM（Response surface）、径向基/椭圆基神经网络模型RBF/EBF（RBF/EBF Nueral Network）、正交多项式模型Orthogonal（Chebyshev/Orthogonal Polynomial）、Kriging模型的降阶模型方法。在Isight 2022版本中，将3DEXPERIENCE Results Analytics中的Universal Kriging近似技术也移植到了Isight中，以保持对现有模型的向后兼容性。
西门子Simcenter降阶模型技术是以Simcenter Amesim系统仿真为核心，可以方便集成各种降阶模型，同时确保了模型的连续性。具体到各应用领域，西门子的降阶模型FEM技术在Simcenter1D工具中嵌入带有柔性体和执行器的机械结构；降阶模型CFD技术重用和捕获3D CFD行为以利用周围的子系统执行快速运行；降阶模型系统建模技术创建数字孪生时，降低系统复杂性以加快CPU时间；Embedded ROMs技术将降阶模型导出到硬件设备以进行控制，虚拟传感器，IoT等应用。
三、从四大案例，看降阶模型应用趋势
多年来，降阶模型已成功应用于控制、流体动力学、结构动力学、热分析、多物理、医学和优化问题。现在，鉴于降阶模型具有高效率的计算特点，降阶模型主要用于加快产品设计和优化，或者作为实时控制工具中的数字孪生组件。
案例一：采用降阶模型完成电池包CFD分析
通常，新能源汽车的电池包是由几百甚至几千个单体电池组成，CFD建模时往往会生成超过千万的网格，如果按照传统的CFD方法进行瞬态热分析，计算量是非常大的，不满足实际应用中对分析效率的要求。因此，采用降阶模型处理的方式建立热分析等效模型完成瞬态热分析，可以大大提高分析效率。
本案例采用Ansys Simplorer软件创建了LIT（Linear Time Invariant，线性时不变系统）ROM、SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）ROM和ECM（误差修正模型）三个模型，然后在此基础上搭建完整的电池包热分析模型。在ECM和ROM耦合的模型中，ECM计算电池热源的热耗散并把数据传递给两个ROM模型，其中LTI ROM计算出电池的平均温度并把此温度反馈回ECM，这样就可以考虑温度对电池放电的影响，而SVD ROM则计算并保存了整个温度场分布随时间变化的过程。
从计算结果来看，按传统CFD分析方法进行瞬态分析在单核计算情况下需要约5个小时，而降阶处理方法仅仅需要耗费几秒钟，即使加上生成ROM的时间也不超过半小时。由此可见，采用降阶模型的处理方法，不仅获得了与传统CFD分析方法一样的精度，还大大缩短了计算时间，提高了分析效率。
案例二：基于降阶模型实现散料混合过程的工艺参数快速优化
料仓混合设备在制药、食品和化工行业作为基本操作单元被广泛使用，在实际使用过程中，针对这些工业生产中的散料处理高保真模拟往往需要花费大量的时间，而采用基于降阶模型的机器自学习方法，可以实现工业散料混合过程的工艺参数化快速优化。
本案例首先采用Altair HyperStudy快速自动生成EDEM模拟的统计数据集，然后基于romAI中的机器学习算法则生成系统级的动态降阶模型，将设备操作参数与关键性能指标（KPIs）关联起来，最后使用Altair Activate中的优化算法对降阶模型进行计算，以便快速得到最优的操作参数。
具体在构建romAI模型时，本案例将混料仓作业参数（包括转速、转角和物料质量）作为输入，偏析指数作为输出和状态参数。最终结果显示，romAI模型不仅能够预测未知的混料仓作业参数的偏析指数的变化趋势，还能够准确预测超出训练数据范围外的偏析指数，而无需长时间等待模拟达到最终混合状态，从而进一步减少了计算时间。
案例三：使用降阶建模技术实现涡轮叶片燕尾榫优化设计
在燃气轮机和蒸汽轮机行业中，涡轮叶片是实现高可靠性和高效率的关键部件。在叶片设计中，许多研究者使用有限元分析来预测在热载荷和结构载荷条件下叶片和轮盘装配的精确应力水平。然而，有限元分析本身并不足以提供优化设计。本案例还使用了Isight软件，对离心载荷作用下涡轮叶片和轮盘的燕尾榫进行了参数优化分析。
为了有效地利用不同的优化算法得到优化结果，本案例采用有限元模型及其降阶模型进行两级优化。主要利用最优拉丁超立方采样技术对设计空间进行抽样，并创建近似模型，使用近似模型执行优化。在构建降阶模型时，本案例考虑并比较了两种不同的降阶模型(RSM和EBF)。
结果表明，与响应面模型相比，EBF模型的接触压力和von Mises应力值更低，效果更好。同样是采用EBF代理模型，Evol优化方法得到的整体结果优于其他优化算法。同时，观察EBF代理模型的结果，可以很容易地看出设计变量DV5、DV6、DV8、DV9的值在不同的优化方法下没有太大变化。因此，将这些设计变量的值设置为常量，其余设计变量的初始值被设置为EBF模型中使用Evol方法获得的最优值。
案例四：将降阶模型用于虚拟传感器
机械装备或者工厂流水线上布置有各种传感器用于检测设备或产线的运行状态，但有时考虑到降低成本、安装空间不足等因素，无法在实体上加装传感器。本案例以液压折弯机为例，讲述如何在液压缸入口处增加一个虚拟传感器。
首先，在AMESIM模型中增加一个压力探头，并进行批处理，得到多个工况下的仿真结果用做训练数据；输入量为换向阀输入电压和活塞杆位置，压力传感器探测值作为输出。 然后，打开AMESIM的Neural Network Builder工具，导入仿真结果，创建一个包含2个隐藏层的动态神经网络模型，训练到收敛。
从训练结果来看验证集的置信度高达95%，将神经网络模型作为AMESIM子模型加载到模型库中，通过PLCSIM Advanced和AMESIM联合开展虚拟调试，进一步验证神经网络模型的准确性。最终结果显示，神经网络模型可以作为一个虚拟控制器集成到边缘设备中，通过收到的换向阀输入电压和活塞杆位置信号，可以实时反馈一个压力值，并显示在HMI面板上。
从发展趋势来看，降阶模型正在引领仿真技术应用的新潮流，可简化的模型范围正从机械机构不断扩展到流体、热、电气、控制等学科，最终实现随时间变化的多维物理过程进行低维的近似描述。通过采用各种降阶模型方法，仿真工程师可以将模型简化到要求的误差范围内，并最大程度地减小对计算机资源的占用，实现仿真加速的新目标。相信在未来的仿真技术的应用场景中，将会有更多的降阶模型方法融入其中，被工程师用于快速决策方案或者构建数字孪生模型组件。
【参考文献】
1、一篇文章入门求解器模型降阶方法
https://mp.weixin.qq.com/s/UCDvFZVqfD8_sB5GTQwz2g
2、基于ANSYS平台的数字孪生
https://mp.weixin.qq.com/s/oyjvWNjbsGelSikZyQ9kEg
3、干货 | ANSYS新能源电池包散热仿真解决方案
https://mp.weixin.qq.com/s/OL9bjA5-Do1F4CJ4BrNlKA
4、The medical digital twin assisted by Reduced Order Models and Mesh Morphing https://www.researchgate.net/publication/328355804_The_medical_digital_twin_assisted_by_Reduced_Order_Models_and_Mesh_Morphing
5、专业论文｜基于Abaqus和Isight的涡轮叶片燕尾榫几何设计研究
https://mp.weixin.qq.com/s/KfGz8_qwbfOougx7yL-l4A
6、技术分享 | 基于AMESIM的模型降阶-Neural Network Builder
https://mp.weixin.qq.com/s/bBBKMunBKdkNhBkeaaDO5A
近年来，降阶模型方法极大地推动了仿真技术应用于复杂产品设计与实时模拟中，因为降阶模型既保留了模型的基本特性与主导效应，又大大减少了复杂模型的CPU计算时间及存储空间，这使得模型的计算速度和数值精度不必二者取其一，从而引发了仿真技术的新变化。本文将阐述笔者对于降阶模型技术的认识和理解，并分享了4个应用案例供读者参考。
一、降阶模型，平衡精度和速度的利器
在研究工程问题时，对问题进行离散化是一种常见且有效的数值逼近方法，但经过离散化处理后的系统的阶数通常都非常大，给计算机的存储、数值运算、系统控制设计带来了很大的困难，降阶模型技术应运而生。其实，降阶模型并非全新概念，最早出现在自动控制和电路系统领域，是超大规模电路设计自动化软件的理论基础之一。在1966年，Edward J. Davison提出了控制系统的降阶模型，想法是降低原始系统系数矩阵的阶次，并保留原来系统的主导特征值与一些重要的状态变量。近几十年来，研究者们快速开发了多种降阶模型（Reduced Order Models，ROM）方法，实现以较低的计算成本和可接受的精度损失来获得近似解决方案。
如何理解降阶模型 顾名思义，降阶模型是在有合理的准确性的模型基础上构建一个简化的模型近似原来的模型。在系统仿真方面，降阶模型的核心思想是将大规模复杂系统模型在一定条件下转化为较小规模的近似系统模型，满足近似系统模型与原系统模型的误差足够小，并从物理角度上保持原系统模型的稳定性、无源性和结构特性等。用一句话来理解，降阶模型是用低阶模型逼近高阶模型。
在优化领域，一些研究人员认为模型降阶技术是一种利用现有模型的计算结果和/或试验数据构建出的已有数据集（包括输入和输出）进行插值的方法。它的起点是尽可能地覆盖设计空间的DOE设计。在某些情况下,可以将模型降阶视为代数解法,将时变现象分解为特殊的和时间的成分,以减少数据集的容量,同时保留数据中包含的最重要部分的信息。在需要的时候,可以恢复全部数据,或数据中最重要的部分。此外,还可以将模型降阶视为聚类或其他"有损"高效数据压缩技术,从而减少了重建完整数据集所需的数据量。两种技术都可以基于大量的试验或仿真结果创建机载计算和实时仿真应用程序。
在数字孪生方面，降阶模型的研究可以推动数字孪生模型的发展，是未来智能制造的发展方向。基于降解模型技术可以将三维的流体、结构、电磁、热等物理场仿真模型降阶为可以实时仿真的数字孪生组件模型，实现对关键组件或价值昂贵组件的预测和维护，为复杂系统的决策支持提供高可靠性依据。
归纳来看，降阶模型技术对于仿真分析的价值主要有三点：一是将具有高保真度的仿真模型尽可能简化，进而满足系统级实时仿真和快速优化的应用需求；二是降低模型仿真时所需要的CPU计算时间以及硬盘存储空间；三是可作为控制器软件的一部分，起到模型预测、状态估算等作用的在线模型。
二、仿真+降阶模型融合，大势所趋
当前，为了支撑数字孪生的应用，主流仿真软件公司开发了降阶模型处理技术，以便快速得到接近三维仿真的近似解，从而支持与系统仿真软件一起，实现对物理对象的实时仿真。从市面上很多商业化的仿真软件来看，这些软件已经包含了降阶模型功能的接口或者模块，具备了对应的降阶模型功能。例如，Ansys提出了降阶模型技术为核心的一维仿真方法，通过应用LTI、SVD和DOE等方法将三维和二维有限元模型降阶为一维数字样机模型，降阶的过程中考虑非线性因素对结果造成的影响，并采用机器学习等方法进行结果的内插与外推，客户只需提供部分有限元结果也能保证整体计算精度。
Ansys的降阶模型技术（ 来源：数字孪生体实验室）
Altair也很注重将降阶模型技术应用于仿真分析。早在2016年，Altair就收购了一个多尺度技术公司Multiscale Designer，该软件采用独特的系统化模型降阶技术，可将有限元数量成百上千的复杂单元胞体简化为数量可控的形变模式和状态变量，这使得多尺度建模能够切实应用于解决当今的复杂异质材料仿真问题。现如今，romAI降阶模型作为Altair的一个全新工具，融合了人工智能和系统建模技术，可从已有数据生成可重复使用的连续动态模型。
达索系统Isight软件具有专门的降阶模型（近似拟合）的功能模块，主要提供响应面模型RSM（Response surface）、径向基/椭圆基神经网络模型RBF/EBF（RBF/EBF Nueral Network）、正交多项式模型Orthogonal（Chebyshev/Orthogonal Polynomial）、Kriging模型的降阶模型方法。在Isight 2022版本中，将3DEXPERIENCE Results Analytics中的Universal Kriging近似技术也移植到了Isight中，以保持对现有模型的向后兼容性。
使用Universal Kriging技术生成的采样点（来源：达索系统）
西门子Simcenter降阶模型技术是以Simcenter Amesim系统仿真为核心，可以方便集成各种降阶模型，同时确保了模型的连续性。具体到各应用领域，西门子的降阶模型FEM技术在Simcenter1D工具中嵌入带有柔性体和执行器的机械结构；降阶模型CFD技术重用和捕获3D CFD行为以利用周围的子系统执行快速运行；降阶模型系统建模技术创建数字孪生时，降低系统复杂性以加快CPU时间；Embedded ROMs技术将降阶模型导出到硬件设备以进行控制，虚拟传感器，IoT等应用。
三、从四大案例，看降阶模型应用趋势
多年来，降阶模型已成功应用于控制、流体动力学、结构动力学、热分析、多物理、医学和优化问题。现在，鉴于降阶模型具有高效率的计算特点，降阶模型主要用于加快产品设计和优化，或者作为实时控制工具中的数字孪生组件。
案例一：采用降阶模型完成电池包CFD分析
通常，新能源汽车的电池包是由几百甚至几千个单体电池组成，CFD建模时往往会生成超过千万的网格，如果按照传统的CFD方法进行瞬态热分析，计算量是非常大的，不满足实际应用中对分析效率的要求。因此，采用降阶模型处理的方式建立热分析等效模型完成瞬态热分析，可以大大提高分析效率。
本案例采用Ansys Simplorer软件创建了LIT（Linear Time Invariant，线性时不变系统）ROM、SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）ROM和ECM（误差修正模型）三个模型，然后在此基础上搭建完整的电池包热分析模型。在ECM和ROM耦合的模型中，ECM计算电池热源的热耗散并把数据传递给两个ROM模型，其中LTI ROM计算出电池的平均温度并把此温度反馈回ECM，这样就可以考虑温度对电池放电的影响，而SVD ROM则计算并保存了整个温度场分布随时间变化的过程。
采用SVD技术建立降阶模型（来源：Ansys）
从计算结果来看，按传统CFD分析方法进行瞬态分析在单核计算情况下需要约5个小时，而降阶处理方法仅仅需要耗费几秒钟，即使加上生成ROM的时间也不超过半小时。由此可见，采用降阶模型的处理方法，不仅获得了与传统CFD分析方法一样的精度，还大大缩短了计算时间，提高了分析效率。
案例二：基于降阶模型实现散料混合过程的工艺参数快速优化
料仓混合设备在制药、食品和化工行业作为基本操作单元被广泛使用，在实际使用过程中，针对这些工业生产中的散料处理高保真模拟往往需要花费大量的时间，而采用基于降阶模型的机器自学习方法，可以实现工业散料混合过程的工艺参数化快速优化。
本案例首先采用Altair HyperStudy快速自动生成EDEM模拟的统计数据集，然后基于romAI中的机器学习算法则生成系统级的动态降阶模型，将设备操作参数与关键性能指标（KPIs）关联起来，最后使用Altair Activate中的优化算法对降阶模型进行计算，以便快速得到最优的操作参数。
romAI动态模型概念图（来源：Altair）
具体在构建romAI模型时，本案例将混料仓作业参数（包括转速、转角和物料质量）作为输入，偏析指数作为输出和状态参数。最终结果显示，romAI模型不仅能够预测未知的混料仓作业参数的偏析指数的变化趋势，还能够准确预测超出训练数据范围外的偏析指数，而无需长时间等待模拟达到最终混合状态，从而进一步减少了计算时间。
案例三：使用降阶建模技术实现涡轮叶片燕尾榫优化设计
在燃气轮机和蒸汽轮机行业中，涡轮叶片是实现高可靠性和高效率的关键部件。在叶片设计中，许多研究者使用有限元分析来预测在热载荷和结构载荷条件下叶片和轮盘装配的精确应力水平。然而，有限元分析本身并不足以提供优化设计。本案例还使用了Isight软件，对离心载荷作用下涡轮叶片和轮盘的燕尾榫进行了参数优化分析。
为了有效地利用不同的优化算法得到优化结果，本案例采用有限元模型及其降阶模型进行两级优化。主要利用最优拉丁超立方采样技术对设计空间进行抽样，并创建近似模型，使用近似模型执行优化。在构建降阶模型时，本案例考虑并比较了两种不同的降阶模型(RSM和EBF)。
两种不同的降阶模型的比较（来源：达索系统）
结果表明，与响应面模型相比，EBF模型的接触压力和von Mises应力值更低，效果更好。同样是采用EBF代理模型，Evol优化方法得到的整体结果优于其他优化算法。同时，观察EBF代理模型的结果，可以很容易地看出设计变量DV5、DV6、DV8、DV9的值在不同的优化方法下没有太大变化。因此，将这些设计变量的值设置为常量，其余设计变量的初始值被设置为EBF模型中使用Evol方法获得的最优值。
案例四：将降阶模型用于虚拟传感器
机械装备或者工厂流水线上布置有各种传感器用于检测设备或产线的运行状态，但有时考虑到降低成本、安装空间不足等因素，无法在实体上加装传感器。本案例以液压折弯机为例，讲述如何在液压缸入口处增加一个虚拟传感器。
将降阶模型用于虚拟传感器（来源：能科科技）
首先，在AMESIM模型中增加一个压力探头，并进行批处理，得到多个工况下的仿真结果用做训练数据；输入量为换向阀输入电压和活塞杆位置，压力传感器探测值作为输出。 然后，打开AMESIM的Neural Network Builder工具，导入仿真结果，创建一个包含2个隐藏层的动态神经网络模型，训练到收敛。
从训练结果来看验证集的置信度高达95%，将神经网络模型作为AMESIM子模型加载到模型库中，通过PLCSIM Advanced和AMESIM联合开展虚拟调试，进一步验证神经网络模型的准确性。最终结果显示，神经网络模型可以作为一个虚拟控制器集成到边缘设备中，通过收到的换向阀输入电压和活塞杆位置信号，可以实时反馈一个压力值，并显示在HMI面板上。
从发展趋势来看，降阶模型正在引领仿真技术应用的新潮流，可简化的模型范围正从机械机构不断扩展到流体、热、电气、控制等学科，最终实现随时间变化的多维物理过程进行低维的近似描述。通过采用各种降阶模型方法，仿真工程师可以将模型简化到要求的误差范围内，并最大程度地减小对计算机资源的占用，实现仿真加速的新目标。相信在未来的仿真技术的应用场景中，将会有更多的降阶模型方法融入其中，被工程师用于快速决策方案或者构建数字孪生模型组件。
【参考文献】
1、一篇文章入门求解器模型降阶方法
https://mp.weixin.qq.com/s/UCDvFZVqfD8_sB5GTQwz2g
2、基于ANSYS平台的数字孪生
https://mp.weixin.qq.com/s/oyjvWNjbsGelSikZyQ9kEg
3、干货 | ANSYS新能源电池包散热仿真解决方案
https://mp.weixin.qq.com/s/OL9bjA5-Do1F4CJ4BrNlKA
4、The medical digital twin assisted by Reduced Order Models and Mesh Morphing https://www.researchgate.net/publication/328355804_The_medical_digital_twin_assisted_by_Reduced_Order_Models_and_Mesh_Morphing
5、专业论文｜基于Abaqus和Isight的涡轮叶片燕尾榫几何设计研究
https://mp.weixin.qq.com/s/KfGz8_qwbfOougx7yL-l4A
6、技术分享 | 基于AMESIM的模型降阶-Neural Network Builder
https://mp.weixin.qq.com/s/bBBKMunBKdkNhBkeaaDO5A
文章来源: e-works
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